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第１９回　Ｍａｘｉｍａ の実力を探る　 　　　フリーソフトの数式処理システム（第２部）

数式計算をどこまでしてくれるのか？

　前回、数式の展開計算、因数分解などを紹介しました。今回は、数式を代入したり、整理したりする一般的な計算や、 連立方程式を解いたりしてみることにしましょう。

ステップ４　　数式処理システム 「Ｍａｘｉｍａ」 を使ってみる

１．　「関数を決めて代入する？」

　関数 F(X,Y)=(X+Y)^2 + 2*X + Y なるものに、X=3、Y=2 を代入したときの計算をしてみる。まず、関数をていぎしましょう。 関数の定義は、定義記号 := を使います。等号 = にコロン : を組み合わせたものです。 関す定義から、数値代入までを一気にしてみましょう。

(%i1) F(X,Y):=(X+Y)^2 + 2*X + Y;      ※ 関数を定義する





                        2

(%o1) F(X, Y) := (X + Y)  + 2 X + Y   ※ 関数を定義されました！





(%i2) F(3,2);                         ※ 関数に代入します





(%o2)              33                 ※ 関数値を計算しました

　数値を代入するレベルでは簡単すぎますね。では、数式を代入してみましょう。X に 3a+b を、Y に 2a-5b を代入してみましょう。 これは、関数の変数部にそれぞれの値を入れてやるだけで、Ｍａｘｉｍａ が計算してくれます。 F(3a+b, 2a-5b) だけで良いのですからね。注意する点は 係数と変数の間に乗算記号 * を入れるところだけです。

(%i3) F(3*a+b,2*a-5b);                     ※ 関数に代入します





                 2
 
(%o3) 2 (b + 3 a) - 5 b + (5 a - 4 b)  + 2 a    ※ 代入してくれました

　さらに展開してみましょう。expand コマンドを使えばよいのは分かっていますね。

(%i4) expand(%o2);        ※ 前の出力式をそのままつかうときは式の番号 %o2 を入れます





             2                      2
 
(%o4)    16 b  - 40 a b - 3 b + 25 a  + 8 a    ※ 展開・整理してくれました

　これくらいの計算であれば、計算ミス無しに筆算で答えを出すのは大変です。Ｍａｘｉｍａ はどんなに複雑になっても大丈夫ですから。

２．　「方程式が解ける？」

　方程式は中学校で習ったものですが、当然、Ｍａｘｉｍａ でも計算してくれます。このとき使うのは、solve コマンドです。

(%i5) solve(2*x + 3 =0 ,x);    ※ 最も簡単な一元一次方程式から






                3

(%o5)   [ x = - - ]　　　※ 分数で答えを出してくれました

                2
 

　このレベルなら中学生でも出来ますね。では、２次方程式はどうでしょうか？

(%i6) solve(2*x^2 + 3*x - 5 = 0 ,x);    ※ 一元二次方程式では






                        5

(%o6)   [ x = 1,  x = - - ]　　　※ 分数で答えを出してくれました

                        2
 

　二次方程式だから、解は２つ出てきました。実数解以外はどうなるのでしょうか？ 虚数解になる二次方程式を入れて見ましょう。当然、これも解いてくれます。

(%i7) solve(2*x^2 + 3*x + 5 = 0 ,x);    ※ 虚数解になる二次方程式では






                 SQRT(31) %I + 3      SQRT(31) %I - 3

(%o7)     [x = - ---------------, x = ---------------]　　　※ %I が虚数単位記号

                       4                    4

　なお、SQRT は平方根記号のことです。Ｍａｘｉｍａは 虚数解まできちんと解けるのですね。 ３次方程式は全て解が求められると数学の先生に聞いたのですが、Ｍａｘｉｍａ は、３次方程式が解けるでしょうか？

(%i8) solve(2*x^3 + 4*x^2 + 4*x +2 = 0 ,x);    ※ ３次方程式は解けるか？






                SQRT(3) %I + 1      SQRT(3) %I - 1

(%o8)    [x = - --------------, x = --------------, x = - 1]

                      2                   2

　係数がどんなに複雑でも同じです。簡単に計算してくれますね。
　では、連立方程式を解いてくれるのでしょうか？ 当然、解いてくれます。数値係数の中学校レベルの連立方程式から、 高校レベルの文字係数の連立方程式でも、どちらでもＯＫです。

　［問題］ 質量が m と 2m の２つの物体が糸で連結し滑車にかけられている。静かに手を離すとき、両物体の加速度と糸の張力を求めなさい。なお、重力加速度が g であるとする。

　上の問題は物理分野の 「運動方程式を扱う問題」 です。全て、文字係数となっているので、中学生にはできません。 Ｍａｘｉｍａは、糸の張力と加速度を求めることができるでしょうか。Ｍａｘｉｍａに計算させて見ましょう。 最初に２つの物体の運動方程式を作り、Ｍａｘｉｍａに渡してみましょう。糸の張力は T 、加速度が a です。

(%i9) solve([T - m*g = m*a, 2*m*g - T = 2*m*a], [a,T]);    ※ 文字係数の連立方程式は解けるか






             g      4 g m

(%o9)  [[a = -, T = -----]]   ※ 見事に解けました。文字の順はご愛嬌ですね！

             3        3

　１秒もかからないのです。あっという間に、糸の張力と加速度を求めてくれました。 上の問題は、未知数が２つで、係数も簡単ですから手で求めてもそれほど大変ではありません。 しかし、キルヒホッフの法則を使う問題などでは未知数が多くなり、手で計算するには大変です。 この様な場合では、Ｍａｘｉｍａは大いに威力を発揮するでしょう。

　ページの都合もあり、これくらいにしておきましょう。次回は、三角関数などを取り上げてみましょう。お楽しみに。

　前回と含めて２回に渡って紹介してきた 数式処理システム 「Ｍａｘｉｍａ」 ですが、一度入手して利用してみてはいかがでしょうか。 マニュアルなどはＰＤＦ文書で入手可能ですので、詳しく読めば相当なレベルの数式処理が可能になります。

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